Question

一艘輪船在航行過程中的燃料費(fèi)與它的速度的立方成正比例關(guān)系，其他與速度無關(guān)的費(fèi)用每小時(shí)96元，已知在速度為每小時(shí)10公里時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)是6元，要使行駛1公里所需的費(fèi)用總和最小，這艘輪船的速度應(yīng)確定為每小時(shí)多少公里？

Answer 1

分析：若設(shè)輪船的速度為x，比例系數(shù)為k，（k＞0），則每小時(shí)的燃料費(fèi)為kx³ ，由x=10，可得 k=

3

500

；從而可得每公里航行費(fèi)用為y=（96+p）t=（96+

3

500

x3)

1

x

=

3

500

(

16000

x

+x2

1

x

，求導(dǎo)函數(shù)，從而可確定函數(shù)的最值．

解答：解：設(shè)輪船的速度為x千米/小時(shí)（x＞0），
則航行1公里的時(shí)間為t=

1

x

小時(shí)．
依題意，設(shè)與速度有關(guān)的每小時(shí)燃料費(fèi)用為p=kx³，則6=k•10³⇒k=

3

500

，
∴p=

3

500

x3，
故每公里航行費(fèi)用為y=（96+p）t=（96+

3

500

x3)

1

x

=

3

500

(

16000

x

+x2

1

x

∴y'=

3

250

(x-

8000

x2

），
由y'=0⇒x=20，
且0＜x＜20時(shí)，y'＜0；x＞20時(shí)，y'＞0．
∴x=20時(shí)，y達(dá)到最小值

3

500

(

16000

20

+202)=

36

5

元．
答：輪船的速度應(yīng)定為每小時(shí)20公里，行駛1公里所需的費(fèi)用總和最小．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的應(yīng)用問題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，正確列出函數(shù)解析式，從而求得結(jié)果．