Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．
（1）求證：AB₁⊥BC₁．
（2）求：二面角C-AC₁-B的大�。�

Answer 1

證明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，
連接B₁C，則∵BCC₁B₁為正方形，
∴BC₁⊥B₁C，
∴由三垂線定理知：AB₁⊥BC₁．…（6分）
解：（2）連接A₁C交AC₁于點(diǎn)O，連接BO，
則：∵BC⊥AC，BC⊥CC₁，
∴BC⊥平面ACC₁，又CO⊥AC₁，
∴BO⊥AC₁，
∴∠BOC即為二面角C-AC₁-B的平面角…（10分）
在Rt△BCO中：，
∴
∴二面角C-AC₁-B的大小為：．…（13分）
分析：（1）根據(jù)直三棱柱的幾何特征，側(cè)面與底面垂直，結(jié)合∠ACB=90°，由面面垂直的性質(zhì)定理易得AC⊥平面BCC₁B₁，又由AC=BC=CC₁=2，可得BCC₁B₁為正方形，即BC₁⊥B₁C，進(jìn)而由三垂線定理得到AB₁⊥BC₁．
（2）連接A₁C交AC₁于點(diǎn)O，連接BO，由線面垂直的判定定理可證明BC⊥平面ACC₁，進(jìn)而BO⊥AC₁，結(jié)合二面角的定義可得∠BOC即為二面角C-AC₁-B的平面角，解Rt△BCO可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的求法，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，其中解答（1）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造出二面角C-AC₁-B的平面角∠BOC．