Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）當時，方程有實根，求實數(shù)的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）0．

解析試題分析：（Ⅰ）函數(shù)在上為增函數(shù)，則它的導函數(shù)在上恒成立，于是問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，這類問題若方便分離參數(shù)一般分離參數(shù)，若不方便分離參數(shù)，則可從函數(shù)自身的單調(diào)性解決，但往往會涉及分類討論，較為麻煩，根據(jù)題目特點，本題需要采用第二種方法；（Ⅱ）這是一個由方程有解求參數(shù)取值范圍（或最值）的問題，這類問題若方便分離參一般可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，若不方便分離參數(shù)，則根據(jù)函數(shù)類型，采用數(shù)形結(jié)合方法解答，本題適合于第一種方法，但本題分離參數(shù)后，若直接求的最值，則較為困難，比較巧妙的做法是，將問題轉(zhuǎn)化為求的最值.
試題解析：（I）因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以
在上恒成立
?當時，在上恒成立，
所以在上為增函數(shù)，故 符合題意
?當時，由函數(shù)的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，所以在上恒成立
令函數(shù)，其對稱軸為，因為，所以，要使在上恒成立，只要即可，
即，所以因為，所以.綜上所述，的取值范圍為 
（Ⅱ）當時，可化為，
問題轉(zhuǎn)化為在上有解，
即求函數(shù)的值域，
令，，
所以當時，，在上為增函數(shù)，當時，，在上為減函數(shù)，因此，
而，所以，即當時，取得最大值0.
考點：函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)與方程的綜合問題.