Question

（2012•昌平區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在與x無關(guān)的正常數(shù)M，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為有界泛函．在函數(shù)①f（x）=-5x，②f（x）=sin²x，③f(x)=(

1

2

)x，④f（x）=xcosx中，屬于有界泛函的有

①②④

（填上所有正確的序號(hào)）．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出各個(gè)函數(shù)的最值，如①②④三個(gè)函數(shù)有最大值故存在這樣的M對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，③這個(gè)函數(shù)沒有最值，不滿足條件．

解答：解：①|(zhì)f（x）|=|-5x|=5|x|，存在這樣的M=5，對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故①是有界泛函；
②|f（x）|=|sin²x|≤1，不妨取M=2，則|f（x）|≤2對(duì)定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x都成立，故②是有界泛函；
③|f（x）|=|（

1

2

）^x||≤M|x|，不存在這樣的M，對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故③不是有界泛函；
④|f（x）|=|xcosx|≤M|x|，即|cosx|≤M，當(dāng)M≥1時(shí)，f（x）=xcosx是有界泛函．
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素，以及函數(shù)恒成立問題等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．