Question

某大樓共5層，4個人從第一層上電梯，假設每個人都等可能地在每一層下電梯，并且他們下電梯與否相互獨立．又知電梯只在有人下時才停止．
（I）求某乘客在第i層下電梯的概率（i=2，3，4，5）；
（Ⅱ）求電梯在第2層停下的概率；
（Ⅲ）求電梯停下的次數(shù)ξ的數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生的所有事件數(shù)共有4種結果，而滿足條件的只有一個結果，根據(jù)古典概型公式得到結果．
（2）由第一問知一個乘客在某一層下的概率是

1

4

，有4個乘客相當于發(fā)生4次獨立重復試驗，電梯在第2層停下的對立事件是都不在第二層下，不在某一層下的概率是1-

1

4

．
（3）某大樓共5層，4個人從第一層上電梯，可能在第五、第四、第三、第二層停，所以ξ可取1、2、3、4四種值，當ξ=1時表示電梯在整個過程中只停一次，又變?yōu)楣诺涓判停?/div>

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，
試驗發(fā)生的所有事件數(shù)共有4種結果，
而滿足條件的只有一個結果，
∴P=

1

4

．
（Ⅱ）由第一問知一個乘客在某一層下的概率是

1

4

，
有4個乘客相當于發(fā)生4次獨立重復試驗，
電梯在第2層停下的對立事件是都不在第二層下，
∴P=1-(1-

1

4

)4=

175

256

（Ⅲ）由題意知ξ可取1、2、3、4四種值，
P(ξ=1)=

C 1 4

44

=

1

64

；
P(ξ=2)=

C 2 4 (24-2)

44

=

21

64

；
P(ξ=3)=

C 3 4 C 2 4 A 3 3

44

=

36

64

；
P(ξ=4)=

A 4 4

44

=

6

64

故ξ的分別列如下表：

∴Eξ=

1

64

+2×

21

64

+3×

36

64

+4×

6

64

=

175

64

點評：期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數(shù)，學習期望將為今后學習概率統(tǒng)計知識做鋪墊，為今后學習數(shù)學及相關學科產(chǎn)生深遠的影響．