Question

設(shè)a為實(shí)常數(shù)，已知函數(shù)在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，且在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)。

(Ⅰ)求常數(shù)的值；

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線距離的最小值；

（Ⅲ）若當(dāng)且時，恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)

（Ⅱ）

（Ⅲ）(－∞，1]

解析:

(Ⅰ)因?yàn)?img width=115 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/8/362808.gif">在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，則

當(dāng)x∈[1，2]時，恒成立，即恒成立，所以。        （2分）

又在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，則

當(dāng)x∈(0，1]時，恒成立，即恒成立，所以。

綜上分析，。                                                          （4分）

 (Ⅱ)因?yàn)?img width=101 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/28/362828.gif">，則。

令，則，。

所以函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線與直線平行。         （6分）

設(shè)所求距離的最小值為d，則d為點(diǎn)到直線的距離，

故。                                                （8分）

(Ⅲ)因?yàn)?img width=113 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/39/362839.gif">，則。因?yàn)楫?dāng)時，，所以在(0，1]上是減函數(shù)，從而。               （9分）

因?yàn)楫?dāng)時，恒成立，則。         （10分）

又當(dāng)時，恒成立，則在時恒成立。    （11分）

因?yàn)?img width=79 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/52/362852.gif">在時是減函數(shù)，所以，從而，即。

故b的取值范圍是(－∞，1]。                                                   (13分)