在數(shù)列{an}和{bn}中,數(shù)學(xué)公式,bn=(a+1)n+b,n=1,2,3,…,其中a≥2且a∈N*,b∈R.
(Ⅰ)若a1=b1,a2<b2,求數(shù)列{bn}的前n項和;
(Ⅱ)證明:當(dāng)數(shù)學(xué)公式時,數(shù)列{bn}中的任意三項都不能構(gòu)成等比數(shù)列.

(Ⅰ)解:∵a1=b1,∴a=a+1+b,∴b=-1
∵a2<b2,∴a2<2a+1

∵a≥2,∴a=2
∴bn=(a+1)n+b=3n-1
∴數(shù)列{bn}的前n項和為;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時,bn=(a+1)n+b=3n+
設(shè)數(shù)列{bn}中的任意三項能構(gòu)成等比數(shù)列,不妨設(shè)bx,by,bz(0≤x<y<z≤n)為任意三項成等比數(shù)列,
則by 2 =bx•bz,即(3y+2=(3x+)•(3z+),化簡得

∴x2-6xz+z2=0
∵0≤x<y<z≤n,且x、y、z為整數(shù),
∴此方程無整數(shù)解.
故當(dāng)時,數(shù)列{bn}中的任意三項都不能構(gòu)成等比數(shù)列.
分析:(Ⅰ)根據(jù)a1=b1,可得b=-1,利用a2<b2,a≥2,可得a=2,從而可求數(shù)列{bn}的通項與前n項和;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}中的任意三項能構(gòu)成等比數(shù)列,不妨設(shè)bx,by,bz(0≤x<y<z≤n)為任意三項成等比數(shù)列,所以by 2 =bx•bz,即,從而,結(jié)合0≤x<y<z≤n,且x、y、z為整數(shù),即可知當(dāng)時,數(shù)列{bn}中的任意三項都不能構(gòu)成等比數(shù)列.
點評:本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合,考查數(shù)列求和,考查反證法思想.
練習(xí)冊系列答案
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在數(shù)列{an}和{bn}中,an=an,bn=(a+1)n+b,n=1,2,3,…,其中a≥2且a∈N*,b∈R.
(Ⅰ)若a1=b1,a2<b2,求數(shù)列{bn}的前n項和;
(Ⅱ)證明:當(dāng)a=2,b=
2
時,數(shù)列{bn}中的任意三項都不能構(gòu)成等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)A={a1,a2,a3,…},B={b1,b2,b3,…},試問在區(qū)間[1,a]上是否存在實數(shù)b使得C=A∩B≠∅.若存在,求出b的一切可能的取值及相應(yīng)的集合C;若不存在,試說明理由.

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(Ⅰ)若a1=b1,a2<b2,求數(shù)列{bn}的前n項和;
(Ⅱ)證明:當(dāng)a=2,b=
2
時,數(shù)列{bn}中的任意三項都不能構(gòu)成等比數(shù)列.

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(Ⅱ)證明:當(dāng)時,數(shù)列{bn}中的任意三項都不能構(gòu)成等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)A={a1,a2,a3,…},B={b1,b2,b3,…},試問在區(qū)間[1,a]上是否存在實數(shù)b使得C=A∩B≠∅.若存在,求出b的一切可能的取值及相應(yīng)的集合C;若不存在,試說明理由.

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