Question

甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過60千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本（單位：元）由可變成本和固定成本組成，可變成本與速度v（千米/小時）的平方成正比，已知速度為50千米/小時時每小時可變成本是100元；每小時固定成本為a元．
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/小時）的函數(shù)并標明定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意，總的運輸成本y=每小時的運輸成本×時間，而每小時的成本包括固定成本和可變成本，可變成本與速度的平方成正比，先利用待定系數(shù)法求出正比例系數(shù)，然后再用速度結(jié)合路程把時間表示出來，則全程的運輸成本即可用速度v表示出來；
（2）由第一問得到了y關(guān)于速度v的函數(shù)，先利用導數(shù)研究其單調(diào)性，因為含有參數(shù)，所以要進行討論，討論的依據(jù)就是極值點（增間區(qū)間的分界點）與函數(shù)定義域的關(guān)系，一般分成極值點在區(qū)間內(nèi)，區(qū)間左、區(qū)間右?guī)追N情況討論．

解答： 解（1）設可變成本=kv²，由已知得100=k•50²，∴k=

1

25

，
∴可變成本=

1

25

v2，全程所用的時間為

s

v

，
∴全程運輸成本為y=（a+

1

25

v² ）

s

v

=s（

a

v

+

v

25

），
所求函數(shù)及其定義域為y=s（

a

v

+

v

25

），v∈（0，60]．
（2）∵y′=s（

1

25

-

a

v2

）=

v2-25a

25v2

s=

(v+5 a )(v-5 a )

25v2

s，v∈（0，60]
令y′=0得v=-5

a

（舍）或v=5

a

由題意：s，a，v均為正數(shù)，
∴當5

a

＜60即0＜a＜144時，
y=s（

a

v

+

v

25

）在（0，5

a

]上單減，在[5

a

，60]上單增
所以當v=5

a

時，全程運輸成本y最小．
（或用均值不等式：當5

a

＜60即a＜144時，y=s（

a

v

+

v

25

）≥2s

a 25

，當且僅當

a

v

=

v

25

，即v=5

a

時等號成立）
當5

a

≥60即a≥144時，
當v∈（0，60]時，y′＜0，y=s（

a

v

+

v

25

）在（0，60]上單減，
∴此時當v=60時，全程運輸成本y取最小值
綜上，當0＜a＜144時，行駛速度v=5

a

千米/小時時全程成本最小，
∴當a≥144時，行駛速度v=60千米/小時時全程成本最�。�

點評：這是一道典型的利用導數(shù)研究其最值的應用題，一般遵循審題、設、列、解、答幾大步，關(guān)鍵是審題過程，先要明確已知與所求，再找尋已知與所求的等量或不等關(guān)系，構(gòu)造方程、函數(shù)、或者不等式；本題是一個函數(shù)應用題，需要求其最值，常采用導數(shù)方法先研究其在定義域內(nèi)的單調(diào)性，然后再求最值；當然根據(jù)函數(shù)式的特征，也可以用基本不等式求最值，但要注意使用條件，即“一正、二定、三相等”．