Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸為4，且點(diǎn)(1，

3

2

)在該橢圓上．
（I）求橢圓的方程；
（II）過橢圓右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由已知可求，a=2，由點(diǎn)(1，

3

2

)在該橢圓上，代入可求b，從而可求橢圓的方程
（II）AB為直徑的圓過原點(diǎn)?

OA

•

OB

=0?x₁x₂+y₁y₂=0，從而考慮設(shè)直線方程，聯(lián)立直線于橢圓方程進(jìn)行求解即可．

解答：解：（I）由題意2a=4，a=2
∵點(diǎn)(1，

3

2

)在該橢圓上，∴

1

4

+

3 4

b2

=1  解可得，b²=1
∴所求的橢圓的方程為

x2

4

+y2=1
（II）由（I）知c²=a²-b²=3∴c=

3

，橢圓的右焦點(diǎn)為（

3

，0）
因?yàn)锳B為直徑的圓過原點(diǎn)，所以

OA

•

OB

=0
若直線的斜率不存在，則直線AB的方程為x=

3

交橢圓于(

3

，

1

2

)，(

3

，-

1

2

)兩點(diǎn)

OA

•

OB

=

11

4

≠0不合題意
若直線的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線AB的方程為y=k(x-

3

)
由

y= k(x- 3 ) x2 4 + y2=1

可得(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0
由直線AB過橢圓的右焦點(diǎn)可知△＞0
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
則x1+x2=

8 3 k2

1+4k2

   x1 x2=

12k2-4

1+4k2

又y1y2=k2(x1-

3

)(x2-

3

)=k2[x1x2-

3

(x1+x2)+3]=

-k2

1+4k2

由

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

12k2-4

1+4k2

+

-k2

1+4k2

=

11k2-4

1+4k2

=0可得k=±

2 11

11

所以直線l的方程為y=±

2 11

11

(x-

3

)

點(diǎn)評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程及直線于橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，常見的解題思想是聯(lián)立直線方程與曲線方程，通過方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．