Question

19．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD=2AB=4，BC=3，E為AD中點(diǎn)，EF⊥BC，垂足為F．沿EF將四邊形ABFE折起，連接AD，AC，BC，得到如圖2所示的六面體ABCDEF．若折起后AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)D的距離為3．

（Ⅰ）求證：平面ABFE⊥平面CDEF；
（Ⅱ）求六面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取EF中點(diǎn)N，連接MN，DN，推導(dǎo)出四邊形ABFE是邊長(zhǎng)為2的正方形，從而MN⊥EF，MN⊥DN，進(jìn)而MN⊥平面CDEF，由此能證明平面ABFE⊥平面CDEF．
（Ⅱ）連接CE，V_{六面體ABCDEF}=V_{四棱錐C-ABFE}+V_{三棱錐A-CDE}．由此能求出六面體ABCDEF的體積．

解答 證明：（Ⅰ）取EF中點(diǎn)N，連接MN，DN．
根據(jù)題意可知，四邊形ABFE是邊長(zhǎng)為2的正方形，
∴MN⊥EF．
∵AD=2AB=4，BC=3，E為AD中點(diǎn)，EF⊥BC，垂足為F，
∴$DN=\sqrt{D{E^2}+E{N^2}}=\sqrt{5}$，∴$M{N^2}+D{N^2}={2^2}+{（\sqrt{5}）^2}=9=M{D^2}$，
∴MN⊥DN，EF∩DN=N，
∴MN⊥平面CDEF．
又∴MN?平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF．…6分
解：（Ⅱ）連接CE，
則V_{六面體ABCDEF}=V_{四棱錐C-ABFE}+V_{三棱錐A-CDE}．
由（Ⅰ）的結(jié)論及CF⊥EF，AE⊥EF得，
CF⊥平面ABFE，AE⊥平面CDEF，
所以${V_{四棱錐C-ABFE}}=\frac{1}{3}•{S_{正方形ABFE}}•CF=\frac{4}{3}$，
${V_{三棱錐A-CDE}}=\frac{1}{3}•{S_{△CDE}}•AE=\frac{4}{3}$，
∴${V_{六面體ABCDEF}}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$． …12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查六面體的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．