Question

從1、2、…、2n中拿走n個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，留下來的n個(gè)數(shù)的和是1615，則滿足條件的所有正整數(shù)n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：1+2+…+2n=n（2n+1），假設(shè)從第k個(gè)數(shù)開始拿，由題意得到1615=n（2n-1）-

n

2

(2k+n-1)，由此進(jìn)行分類討論，能求出正整數(shù)n的值．

解答： 解：1+2+…+2n=n（2n+1），
假設(shè)從第k個(gè)數(shù)開始拿
則拿走的部分和為k+（k+1）+（k+2）+…+（k+n-1）=

n

2

(k+k+n-1)，
于是1615=n（2n-1）-

n

2

(2k+n-1)，
化簡(jiǎn)得2k=3（n+1）-

3230

n

，k∈Z⁺，n∈Z⁺，
∵3230=2x5x17x19，且2k為偶數(shù)
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)3（n+1）是個(gè)偶數(shù)，這時(shí)只需

3230

n

也是偶數(shù)即可，
于是n=5，17，19滿足．
代入后發(fā)現(xiàn)此時(shí)k＜0，即n為奇數(shù)不滿足題意．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)3（n+1）為奇數(shù)，這時(shí)需要

3230

n

也是奇數(shù)，
于是n=2，n=2x5=10，n=2x17=34，n=2x19=38即可．
代入后發(fā)現(xiàn)n=2，n=10時(shí)k為負(fù)數(shù)，不合題意．
當(dāng)n=34時(shí)k=5，n=38時(shí)k=16滿足題意．
綜上所述：正整數(shù)n的值為34或38．
故答案為：34或38．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要注意分類討論思想的合理運(yùn)用．