已知數(shù)列{an}滿足a1=2，10an+1-9an-1=0，bn=
910
(n+2)(an-1)．
（1）求證：數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列；
（2）當n取何值時，bn取最大值．
分析：（1）由題設(shè)條件10an+1-9an-1=0進行恒等變形即可得到an+1-1=
9
10
(an-1)，由等比數(shù)列的定義即可判斷出數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列；
（2）根據(jù)題設(shè)及（1）的解答，先給出bn的表達式，由于此數(shù)列是正數(shù)數(shù)列，故可用作商法得出bn取最大值時的n．
解答：解：（1）因為10an+1-9an-1=0，即10an+1-1=9an
整理得10（an+1-1）=9（an-1），即an+1-1=
9
10
(an-1)
所以數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列，其公比是
9
10
，首項是a1-1=2-1=1
（2）由（1）得an-1=(
9
10
)n-1，即an=1+(
9
10
)n-1
所以bn=
9
10
(n+2)(an-1)=(n+2)(
9
10
)n
令
bn+1
bn
=
9
10
×
n+3
n+2
≥1，解得n≤7；令
bn+1
bn
=
9
10
×
n+3
n+2
≤1，解得n≥7
故b7=b8為最大值
點評：本題考查數(shù)列的遞推式及等比關(guān)系的確定等比數(shù)列的概念及數(shù)列的最大項的判斷，綜合性強，解題的關(guān)鍵是有較強的探究變形能力，解答時要變形嚴謹是正確作答的保證
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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