Question

20．求極限：$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{2}^{n-1}}{{a}^{n-1}+{2}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 對(duì)a分類討論，利用極限的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：0＜a＜2時(shí)，原式=$\underset{lim}{n→∞}\frac{（\frac{a}{2}）^{n+1}-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}×（\frac{a}{2}）^{n-1}+1}$=$\frac{-\frac{1}{4}}{1}$=-$\frac{1}{4}$．
a=2時(shí)，原式=$\frac{1-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{3}{5}$．
a＞2時(shí)，原式=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1-（\frac{2}{a}）^{n-1}×\frac{1}{{a}^{2}}}{\frac{1}{{a}^{2}}+（\frac{2}{a}）^{n+1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{{a}^{2}}}$=a²．
綜上可得：原式=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}，0＜a＜2}\\{\frac{3}{5}，a=2}\\{{a}^{2}，a＞2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極限的運(yùn)算性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．