Question

16．設函數(shù)f（x）=2^x，對于任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有下列命題
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）
②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
③$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$
④$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$
⑤曲線g（x）=x²與曲線f（x）=2^x有三個公共點．
其中正確的命題序號是①③④⑤．

Answer 1

分析 利用指數(shù)運算法則以及性質(zhì)判斷①②的正誤，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷③的正誤；函數(shù)的凹凸性判斷④的正誤；函數(shù)的圖象交點個數(shù)判斷⑤的正誤；

解答 解：函數(shù)f（x）=2^x，對于任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），
①f（x₁+x₂）=${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=${2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}$=f（x₁）•f（x₂），所以①正確；
②f（x₁•x₂）=${2}^{{x}_{1}•{x}_{2}}$，f（x₁）+f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}$，顯然②不正確；
③因為函數(shù)f（x）=2^x，是增函數(shù)，滿足$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，所以③正確；
④因為函數(shù)f（x）=2^x，是凹函數(shù)，所以$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，所以④正確；
⑤曲線g（x）=x²與曲線f（x）=2^x的圖象如圖：可知x＞0時，有x=2或x=4兩個交點，x＜0時一個交點，兩個函數(shù)有三個公共點．

故答案為：①③④⑤．

點評 本題考查命題的真假的判斷與應用，函數(shù)的單調(diào)性以及凹凸性，函數(shù)的圖象的作法，考查分析問題解決問題的能力．