Question

（1）（選修4-2 矩陣與變換）已知矩陣A=

1 2 -1 4

，向量

α

=

7 4

．
①求矩陣A的特征值λ₁、λ₂和特征向量

α1

、

α2

；
②求A⁵

α

的值．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程求極坐標(biāo)系中，圓ρ=2上的點(diǎn)到直線ρ(cosθ+

3

sinθ)=6的距離的最小值．
（3）選修4-5；不等式選講知x，y，z為正實(shí)數(shù)，且

1

x

+

1

y

+

1

z

=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值時(shí)x，y，z的值．

Answer 1

分析：（1）①先求出矩陣A的特征多項(xiàng)式，令特征多項(xiàng)式等于零，求得特征值，即可求得特征向量

α1

、

α2

．
②由

α

=m

α1

+n

α2

求得m、n的值，再由A5

α

=A5(3

α1

+

α2

)=3(A5

α1

)+A5

α2

，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）把圓、直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離，再將此距離減去半徑，即得所求．
（3）由柯西不等式得

x+4y+9z=[( x )2+(2 y )2+(3 z )2]•[( 1 x )2+( 1 y )2+( 1 z )2]

，再利用基本
不等式求得它的最小值．

解答：解：（1）①矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)=

.

λ-1 1

-2 λ-4

.

=λ²-5λ+6，令f（λ）=0，得λ₁=2，λ₂=3，
當(dāng)λ₁=2時(shí)，得

α1

=

2 1

，當(dāng)λ₂=3時(shí)，得

α2

=

1 1

．…（3分）
②由

α

=m

α1

+n

α2

得

2m+n=7 m+n=4

，得m=3，n=1．
∴A5

α

=A5(3

α1

+

α2

)=3(A5

α1

)+A5

α2

=3(

λ

5 1

α1

)+

λ

5 2

α2

=3×25

2 1

+35

1 1

=

435 339

．…（7分）
（2）解：由 ρ=2即ρ²=4，則易得x²+y²=4，由ρ(cosθ+

3

sinθ)=6易得x+

3

y-6=0，
∴圓心（0，0）到直線的距離為d0=

|0+0-6|

12+( 3 )2

=3，
∵又圓的半徑為2，
∴圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為d=d₀-2=3-2=1．…（7分）
（3）解：由柯西不等式得

x+4y+9z=[( x )2+(2 y )2+(3 z )2]•[( 1 x )2+( 1 y )2+( 1 z )2]

≥

( x • 1 x  +2 y • 1 y +3z• 1 z )2

=36，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=3z時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x=6，y=3，z=2，
所以當(dāng)x=6，y=3，z=2時(shí)，x+4y+9z取得最小值36．…（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，矩陣的特征值與特征向量，柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．