已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式
(1)若x1=-2和x2=4為函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)若f(x)在區(qū)間[-1,3]上是單調(diào)遞減函數(shù),求a-b的最大值.

解:(1)求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=x2+ax-b
∵x1=-2和x2=4為函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),
∴-2+4=-a,(-2)×4=-b
∴a=-2,b=8
,f′(x)=x2-2x-8;
(2)由f(x)在區(qū)間[-1,3]上是單調(diào)遞減函數(shù),可知x2+ax-b≤0在區(qū)間[-1,3]上恒成立
,∴
令a-b=m(a+b)+n(3a-b),則,∴
(a+b)+(3a-b)≤-5
∴a-b≤-5
∴a-b的最大值為-5.
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),利用x1=-2和x2=4為函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),可得f′(-2)=0,f′(4)=0,建立方程,即可求得函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)f(x)在區(qū)間[-1,3]上是單調(diào)遞減函數(shù),可知x2+ax-b≤0在區(qū)間[-1,3]上恒成立,從而可得不等式,再將a-b用結(jié)論線性表示,即可求得結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的極值,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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(2)若f(x)在區(qū)間[-1,3]上是單調(diào)遞減函數(shù),求a2+b2的最小值.

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