Question

如圖，已知點A（11，0），直線x=t（-1＜t＜11）與函數(shù)y=

x+1

的圖象交于點P，與x軸交于點H，記△APH的面積為f（t）．
（ I）求函數(shù)f（t）的解析式；
（ II）求函數(shù)f（t）的最大值．

Answer 1

分析：（ I）由題意設(shè)點P坐標(biāo)，來表示AH，PH的大小，計算出△APH的面積f（t）=

1

2

•AH•PH；
（ II）【解法1】求f（t）的導(dǎo)函數(shù)f，（t），令f'（t）=0，求得f'（t）＞0、＜0的t的取值范圍，從而求得f（t）的最大值．
【解法2】由f（t）=

1

2

（11-t）

t+1

=

1

2

(11-t)2(t+1)

，其中-1＜t＜11，設(shè)g（t）=（11-t）²（t+1），其中-1＜t＜11，利用求導(dǎo)法求出g（t）的最大值，從而得出f（t）的最大值．

解答：解：（ I）由題意點P（x，y），則x=t，y=

t+1

，其中-1＜t＜11，
∴AH=11-t，PH=

t+1

，
所以△APH的面積為f（t）=

1

2

•AH•PH=

1

2

（11-t）

t+1

，其中-1＜t＜11．
（ II）【解法1】∵f（t）=

1

2

（11-t）

t+1

，其中-1＜t＜11．
∴f，（t）=-

1

2

t+1

+

1

2

×（11-t）×

1

2 t+1

=

3(3-t)

4 t+1

，
由f'（t）=0，得t=3，
函數(shù)f（t）與f'（t）在定義域上的情況下表：

所以當(dāng)t=3時，函數(shù)f（t）取得最大值8．
【解法2】由f（t）=

1

2

（11-t）

t+1

=

1

2

(11-t)2(t+1)

，-1＜t＜11，
設(shè)g（t）=（11-t）²（t+1），-1＜t＜11，
則g'（t）=-2（11-t）（t+1）+（11-t）²=（t-11）（t-11+2t+2）=3（t-3）（t-11）．
函數(shù)g（t）與g'（t）在定義域上的情況下表：


所以當(dāng)t=3時，函數(shù)g（t）取得最大值，
即當(dāng)t=3時，函數(shù)f（t）取得最大值

1

2

g(3)

=8．

點評：本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中有利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題，屬于中檔題．