Question

12．一個均速旋轉(zhuǎn)的摩天輪每12分鐘逆時針旋轉(zhuǎn)一周，最低點距地面2米，最高點距地面18米，甲從摩天輪最低點處上摩天輪，3分鐘后乙也在其最低點處上摩天輪，從乙上摩天輪開始計時，在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有3分鐘，甲、乙距地面的高度之和不小于28米．

Answer 1

分析 由題意，設(shè)乙與地面高度與時間t的關(guān)系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），求出f（t）的解析式，甲，乙時間t的關(guān)系是t+3．甲、乙距地面的高度之和不小于28米，建立不等式關(guān)系即可求解，時間t范圍．可得答案．

解答 解：設(shè)乙與地面高度與時間t的關(guān)系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），
由題意可知：A=8，B=10，T=12，∴ω=$\frac{π}{6}$．
即f（t）=8sin（$\frac{π}{6}$t+φ）+10，
又∵f（0）=2，φ∈[0，2π），
故φ=$\frac{3π}{2}$
得 f（t）=8sin（$\frac{π}{6}$t$+\frac{3π}{2}$）+10．
當(dāng)乙在最低點時，距離地面高度2米．此時甲距離地面的高度為：10+8sin（$\frac{π}{6}×3$+$\frac{3π}{2}$）=10米．
設(shè)t分鐘后甲、乙距地面的高度之和不小于28米，
則：8sin（$\frac{π}{6}$t$+\frac{3π}{2}$）+10+8sin[$\frac{π}{6}$（t+3）$+\frac{3π}{2}$]+10≥28．（0≤t＜12）
化簡可得：sin$\frac{π}{6}t$-cos$\frac{π}{6}t$≥1，
即$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{6}t-\frac{π}{4}$）≥1，
∴$\frac{π}{4}$$≤\frac{π}{6}t-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$，
故得：3≤t≤6．
即從乙上摩天輪開始計時，3分鐘后，甲、乙距地面的高度之和不小于28米，6分鐘后甲、乙距地面的高度之和小于28米．
在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有3分鐘甲、乙距地面的高度之和不小于28米．
故答案為3．

點評 本題考查通過實際問題得到三角函數(shù)的性質(zhì)，由性質(zhì)求三角函數(shù)的解析式；考查y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義，注意三角函數(shù)的模型的應(yīng)用．