Question

如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）設(shè)Q為PA的中點，G為△AOC的重心，求證：面OQG∥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓直徑的性質(zhì)，得BC⊥AC，由PA⊥平面ABC得BC⊥PA．利用線面垂直的判定定理，可BC⊥平面PAC；
（2）取延長OG，交AC于M，連結(jié)GM、QM，證出QM是△PAC的中位線，得QM∥PC．利用線面平行的判定定理證出QM∥平面PBC，同理可得QO∥平面PBC，根據(jù)面面平行的判定定理，可得平面OQG∥平面PBC．

解答：解：（1）∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC，
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；
（2）取延長OG，交AC于M，連結(jié)GM、QM，
∵G為△AOC的重心，∴OM是△AOC的中線，
∵Q為PA的中點，M為AC的中點，∴QM∥PC，
∵QM?平面PBC，PC?平面PBC，∴QM∥平面PBC，
同理可得QO∥平面PBC，
∵QM、QO是平面OQG內(nèi)的相交直線，∴平面OQG∥平面PBC．

點評：本題給出直線PA與底面圓所在平面垂直，求證線面垂直和面面平行．著重考查了空間垂直、平行位置關(guān)系的判定與證明等知識，屬于中檔題．