Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且對任意的正整數(shù)m，n都有a_m+n=a_m+a_n+mn，則

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

+

1

a2014

=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：令m=1，得a_n+1-a_n=n+1，用疊加法求出

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項求和法能求出

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

+

1

a2014

的值．

解答： 解：令m=1，得a_n+1=a₁+a_n+n=1+a_n+n，
∴a_n+1-a_n=n+1，
用疊加法：
a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

+

1

a2014

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2014

-

1

2015

）
=2（1-

1

2015

）
=

4028

2015

．
故答案為：

4028

2015

．

點評：本題考查數(shù)列的前2014項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．