Question

用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個大小相同的小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成（如圖），當容器的容積最大時，該容器的高為

1. A.
   8cm
2. B.
   9cm
3. C.
   10cm
4. D.
   12cm

Answer 1

C
分析：設容器的高為xcm，得容器的容積為V（x）與x之間的關系，為三次函數(shù)，求導，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值．
解答：解：設容器的高為xcm，容器的容積為V（x）cm³，則
V（x）=（90-2x）（48-2x）x=4x³-276x²+4320x（0＜x＜24），
∵V′（x）=12x²-552x+4320，
由12x²-552x+4320=0得x=10或x=36（舍），
∵當0＜x＜10時，V′（x）＞0，當10＜x＜24時，V′（x）＜0，
∴當x=10時，V（x）在區(qū)間（0，24）內(nèi)有唯一極大值，
∴容器高x=10cm時，容器容積V（x）最大．
故選C．
點評：本題考查導數(shù)在最大值問題中的應用，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，若f（a）=0：a的左側f'（x）＞0，a的右側f'（x）＜0，則a是極大值點．