Question

數(shù)列{a_n}的首項為，以a₁，a₂，a₃，…，a_n-1，a_n為系數(shù)的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n≥2，且n∈N₊）都有根α、β，且α、β滿足3α-αβ+3β=1．
（1）求證：是等比數(shù)列；　　　　　
（2）求{a_n}的通項公式；
（3）記S_n為{a_n}的前n項和，對一切n∈N₊，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由α、β是方程a_n-1x²-a_nx+1=0的兩根，得，
且（n≥2，且n∈N₊）．又由3α-αβ+3β=1得3（α+β）-αβ=1，
∴，整理得3a_n-1=a_n-1（n≥2）．
∴（n≥2，且n∈N₊）．
∴是等比數(shù)列，且公比．
（2）∵，∴，則，
即． …（7分）
（3）∵S_n=a₁+a₂+…+a_n=
==，
∴．又顯然數(shù)列{}是遞增數(shù)列，
∴要使對一切n∈N₊，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，
只需λ≤=，
∴λ的取值范圍是．
分析：（1）由韋達(dá)定理，得，且（n≥2，且n∈N₊）． 代入3α-αβ+3β=1，整理構(gòu)造出數(shù)列再證是等比數(shù)列；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，先求數(shù)列的通項公式，再得出{a_n}的通項公式
（3）由（2）可求得S_n=a₁+a₂+…+a_n=，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，只需λ≤
點評：本題主要考查了利用遞推關(guān)系 及構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項公式，分組數(shù)列的求和，不等式的恒成立問題的轉(zhuǎn)化求最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．