Question

如圖，正方體AC₁的棱長(zhǎng)為1，過點(diǎn)A作平面A₁BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是（ ）
A．點(diǎn)H是△A₁BD的垂心
B．AH垂直平面CB₁D₁
C．AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過點(diǎn)C₁
D．直線AH和BB₁所成角為45°

Answer 1

【答案】分析：如上圖，正方體的體對(duì)角線AC₁有以下性質(zhì)：
①AC₁⊥平面A₁BD，AC₁⊥平面CB₁D₁；②AC₁被平面A₁BD與平面CB₁D₁三等分；③AC₁=AB等．
（注：對(duì)正方體要視為一種基本圖形來(lái)看待．）
解答：解：因?yàn)槿�棱錐A-A₁BD是正三棱錐，所以頂點(diǎn)A在底面的射影H是底面中心，所以選項(xiàng)A正確；
易證面A₁BD∥面CB₁D₁，而AH垂直平面A₁BD，所以AH垂直平面CB₁D₁，所以選項(xiàng)B正確；
連接正方體的體對(duì)角線AC₁，則它在各面上的射影分別垂直于BD、A₁B、A₁D等，所以AC₁⊥平面A₁BD，則直線A₁C與AH重合，所以選項(xiàng)C正確；
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方體體對(duì)角線的性質(zhì)．