已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=3,若a,b∈[-1,1],a+b≠0時(shí),有
f(a)+f(b)
a+b
>0成立.
(1)判斷f(x)在[-1,1]上的單調(diào)性,并證明;
(2)解不等式:f(x+
1
2
)<f(
1
x-1
);
(3)若當(dāng)a∈[-1,1]時(shí),f(x)≤m2-2am+3對所有的x∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)任取x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,由奇函數(shù)的定義將f(x1)-f(x2)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用所給的條件判斷出f(x1)<f(x2)即可;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論和增函數(shù)的定義,以及函數(shù)的定義域,列出不等式組求出x的范圍;
(3)根據(jù)(1)的結(jié)論和條件,將問題轉(zhuǎn)化為m2-2am+3≥3,即m2-2am≥0對a∈[-1,1]恒成立,再構(gòu)造函數(shù)g(a)=-2m•a+m2,即g(a)≥0對a∈[-1,1]恒成立,求m的取值范圍,需對m進(jìn)行分類討論求出此函數(shù)的最小值.
解答:解:(1)任取x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,則-x2∈[-1,1],
∵f(x)為奇函數(shù),
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=
f(x1)+f(-x2)
x1-x2
•(x1-x2),
由已知得
f(x1)+f(-x2)
x1-x2
>0
,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增.
(2)∵f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,∴
x+
1
2
1
x-1
-1≤x+
1
2
≤1
-1≤
1
x-1
≤1
,解得
-
3
2
≤x<-1,
∴不等式的解集為{x|-
3
2
≤x<-1}.
(3)∵f(1)=3,f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,
∴在[-1,1]上,f(x)≤3,即m2-2am+3≥3,
∴m2-2am≥0對a∈[-1,1]恒成立,求m的取值范圍.
設(shè)g(a)=-2m•a+m2≥0,
①若m=0,則g(a)=0≥0,自然對a∈[-1,1]恒成立.
②若m≠0,則g(a)為a的一次函數(shù),若g(a)≥0對a∈[-1,1]恒成立,
則必須g(-1)≥0,且g(1)≥0,∴m≤-2或m≥2.
∴m的取值范圍是m=0或m≤-2或m≥2.
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)的單調(diào)性綜合問題,以及恒成立問題、轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想,難度大,考查了學(xué)生的分析、解決問題的能力.
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已知f(x)是定義在(-4,4)上的奇函數(shù),它在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 若a滿足f(1-a)+f(2a-3)小于0,求a的取值范圍.

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已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0時(shí),都有
f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)證明函數(shù)a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函數(shù);
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求實(shí)數(shù)x=1的取值范圍.

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12
3)
,c=f(0.2-0.6),則a,b,c的大小關(guān)系
a>b>c
a>b>c

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