Question

某新設(shè)備M在第1年可以生產(chǎn)價(jià)值120萬元的產(chǎn)品，在使用過程中，由于設(shè)備老化及維修原因使得M的生產(chǎn)能力逐年減少，從第2年到第6年，每年M生產(chǎn)的產(chǎn)品價(jià)值比上年減少10萬元；從第7年開始，每年M生產(chǎn)的產(chǎn)品價(jià)值為上年的75%．
（I）求第n年M生產(chǎn)的產(chǎn)品價(jià)值a_n的表達(dá)式；
（II）該設(shè)備M從購買回來后馬上使用，則連續(xù)正常使用10年可以生產(chǎn)多少價(jià)值的產(chǎn)品？

Answer 1

分析：（I）當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為120，公差為-10的等差數(shù)列；當(dāng)n≥7時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₆，公比為

3

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的等比數(shù)列，故可求第n年M生產(chǎn)的產(chǎn)品價(jià)值a_n的表達(dá)式；
（II）設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得
當(dāng)1≤n≤6時(shí)，Sn=120n-5n(n-1)=-5n2+125n（8分）
當(dāng)n≥7時(shí)，Sn=S6+(a7+a6+…an)=570+70•

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•4•[1-(

3

4

)n-6]=780-210•(

3

4

)n-6，從而可求連續(xù)正常使用10年可以生產(chǎn)多少價(jià)值的產(chǎn)品．

解答：解：（I）當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為120，公差為-10的等差數(shù)列，a_n=120-10（n-1）=130-10n；
當(dāng)n≥7時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₆，公比為

3

4

的等比數(shù)列，又a₆=70，∴an=70×(

3

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)n-6
∴第n年M生產(chǎn)的產(chǎn)品價(jià)值a_n的表達(dá)式為an=

130-10n，n≤6 70×( 3 4 )n-6，n≥7

；
（II）設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得
當(dāng)1≤n≤6時(shí)，Sn=120n-5n(n-1)=-5n2+125n（8分）
當(dāng)n≥7時(shí)，Sn=S6+(a7+a6+…an)=570+70•

3

4

•4•[1-(

3

4

)n-6]=780-210•(

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4

)n-6（10分）
所以，S10=780-210•(

3

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)4≈713.55萬元（12分）

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建等差數(shù)列、等比數(shù)列模型．