Question

已知三個正數a，b，c滿足a＜b＜c．
（Ⅰ）若a，b，c是從1，2，3，4，5中任取的三個數，求a，b，c能構成三角形三邊長的概率；
（Ⅱ）若a，b，c是從區(qū)間（0，1）內任取的三個數，求a，b，c能構成三角形三邊長的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出出在1，2，3，4，5幾個數中，任選3個數可能出現的情況有C₅³，再根據三角形的三邊關系判斷出能構成三角形的情況，再利用概率公式解答即可．
（Ⅱ）a，b，c能構成三角形的充要條件是

0＜a＜1 0＜b＜1 0＜c＜1 a+b＞c a+c＞b b+c＞a

，在空間直角坐標系oabc內畫出滿足以上條件的區(qū)域，如圖所示，根據幾何概型的計算方法即可求得結果．

解答：解：（Ⅰ）首先任選3個數，共有C₅³=10種情況，
其中能構成三角形的有2，3，4；2，4，5；3，4，5三種情況，
故能構成三角形三邊的概率是

3

10

．
（Ⅱ）記Ω={（a，b，c）|

0＜a＜1 0＜b＜1 0＜c＜1

}，a，b，c能構成三角形三邊長為事件A，
則A={（a，b，c）|

0＜a＜1 0＜b＜1 0＜c＜1 a+b＞c a+c＞b b+c＞a

}
在空間直角坐標系oabc內畫出滿足以上條件的區(qū)域，如圖所示，
可求得正方體的體積是1，三棱錐O-ABC的體積與三棱錐D-ABC和是

1

2

，
由幾何概型的計算得，
從區(qū)間（0，1）內任取的三個數a，b，c能構成三角形三邊長的概率為P（A）=

VO-ABC+VD-ABC

正方體的體積

=

1 2

1

=

1

2

點評：本題考查古典概型和幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應的“幾何度量”N，最后根據P=

N(A)

N

求解．屬中檔題．