Question

已知函數(shù)f（x）=

2

3

ax³+（a-1）bx²-2x+1，a∈R．
（1）當(dāng)b=1時(shí)，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=2且函數(shù)y=f（x）在（1，2）上存在增區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再討論a＞-1，a≤-1時(shí)的情況，進(jìn)而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得出4x²+2bx-2≥0在（1，2）恒成立，即b≥

1

x

-2x在（1，2）恒成立，令h（x）=

1

x

-2x，求出h（x）＜h（1）=-1，從而得出b的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2

3

ax³+（a-1）bx²-2x+1，且b=1，
∴f′（x）=2（ax-1）（x+1），
①a=0時(shí)，f′（x）=-2（x+1），
∴f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，+∞）遞減；
-1＜a＜0時(shí)，
令f′（x）＞0，解得：

1

a

＜x＜-1，
令f（x）＜0，解得：x＞-1或x＜

1

a

，
∴f（x）在（-∞，

1

a

），（-1，+∞）遞減，在（

1

a

，-1）遞增；
②a≤-1時(shí)，
令f′（x）＞0，解得：x＞

1

a

，x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜

1

a

，
∴f（x）在（-∞，-1），（

1

a

，+∞）遞增，在（-1，

1

a

）遞減；
③a＞0時(shí)，
令f′（x）＞0，解得：x＞

1

a

，或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜

1

a

，
∴f（x）在（-∞，-1），（

1

a

，+∞）遞增，在（-1，

1

a

）遞減．．
（2）a=2時(shí)，f（x）=

4

3

x³+bx²-2x+1，
∴f′（x）=4x²+2bx-2，
若函數(shù)y=f（x）在（1，2）上存在增區(qū)間，
只需4x²+2bx-2≥0在（1，2）恒成立，
即b≥

1

x

-2x在（1，2）恒成立，
令h（x）=

1

x

-2x，則h′（x）=-

1

x2

-2＜0，
∴h（x）在（1，2）遞減，
∴h（x）＜h（1）=-1，
∴b≥-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，考查分類討論思想，是一道綜合題．