Question

9．已知向量$\overrightarrow a=（m，n），\overrightarrow b=（1，1）$，滿足$\overrightarrow a•\overrightarrow b≥$2，且$\overrightarrow a（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）≤0$，則$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的取值范圍是[2，4]．

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow=（m-2，n-2）$，從而由$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）≤0$便可得到（m-1）²+（n-1）²≤2，這樣便可設(shè)m-1=tcosθ，n-1=tsinθ，且$0≤t≤\sqrt{2}$，從而有$m+n=\sqrt{2}tsin（θ+\frac{π}{4}）+2$，這便可得到0≤m+n≤4，從而$0≤\overrightarrow{a}•\overrightarrow≤4$，再根據(jù)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow≥2$便可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的取值范圍．

解答 解：$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow=（m-2，n-2）$；
由$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）≤0$得，m（m-2）+n（n-2）≤0；
∴（m-1）²+（n-1）²≤2；
∴設(shè)m-1=tcosθ，n-1=tsinθ，$0≤t≤\sqrt{2}$；
∴$m+n=t（sinθ+cosθ）+2=\sqrt{2}tsin（θ+\frac{π}{4}）+2$；
$-2≤\sqrt{2}tsin（θ+\frac{π}{4}）≤2$；
∴0≤m+n≤4；
又$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=m+n$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow≥2$；
∴$2≤\overrightarrow{a}•\overrightarrow≤4$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的取值范圍是[2，4]．
故答案為：[2，4]．

點(diǎn)評(píng) 考查向量減法和數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，cos²θ+sin²θ=1的運(yùn)用，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程的轉(zhuǎn)換，以及正弦函數(shù)的最值．