Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線與x+y+3=0平行，求a的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＞x₂，有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定導(dǎo)數(shù)的正負，即可討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）+x，則對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＞x₂，有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁，等價于F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，分類討論，可得實數(shù)a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，
∴f′（x）=x-a+

a-1

x

，
∵函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線與x+y+3=0平行，
∴2-a+

a-1

2

=-1，
∴a=5；
（Ⅱ）f′（x）=

(x-1)[x-(a-1)]

x

，
∴x=1或a-1．
a＞2時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，a-1）上單調(diào)遞減，在（a-1，+∞）上遞增；
a=2時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
1＜a＜2時，f（x）在（0，a-1）上單調(diào)遞增，在（a-1，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上遞增；
a≤1時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上遞增．
（Ⅲ）∵f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁，
∴f（x₁）+x₁＞f（x₂）+x₂，
令F（x）=f（x）+x，則對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＞x₂，有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁，等價于F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∵F（x）=f（x）+x，
∴F′（x）=

1

x

[x²-（a-1）x+a-1]，
令g（x）=x²-（a-1）x+a-1
a-1＜0時，F(xiàn)′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，則g（0）≥0，∴a≥1，不成立；
a-1≥0，則g（

a-1

2

）≥0，即（a-1）（a-5）≤0，∴1≤a≤5，
綜上1≤a≤5．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度中等．