Question

有以下命題：
①一個簡諧運動的函數(shù)表達式為f(x)=sin(

1

2

x+

3π

4

)，則這個簡諧運動的函數(shù)的最小正周期為4π；
②已知函數(shù)f（x）=loga(x-

87

2

)+89，(a＞0且a≠1)恒過定點（m，n），則m，n使等式m=sin²1°+sin²2°+sin²3°+…+sin²n°成立；
③對于函數(shù)f（x）=x²+ax+b和g(x)=logax(0＜a＜1)，有f(

x1+x2

2

)≤f(x1)+f(x2)和g(

x1+x2

2

)≥g(x1)+g(x2)成立；
④定義：若任意x∈A，總有a-x∈A，（A≠∅），就稱集合A為a的閉集．已知集合A⊆{1，2，3，4，5，6}，且A為6的閉集，則這樣的集合A共有7個；
其中所有正確敘述的命題序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：利用函數(shù)的周期判斷①的正誤；求出函數(shù)經(jīng)過的定點然后判斷等式是否成立判斷②的正誤；利用函數(shù)的凹凸性判斷③的正誤；根據(jù)已知中“閉集”的定義，求出集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A為6的“閉集”，可判斷④的正誤；

解答： 解：對于①，一個簡諧運動的函數(shù)表達式為f(x)=sin(

1

2

x+

3π

4

)，則這個簡諧運動的函數(shù)的最小正周期為4π；∴①正確；
對于②，已知函數(shù)f（x）=loga(x-

87

2

)+89，(a＞0且a≠1)恒過定點（m，n），則m=

89

2

，n=89，
使等式m=sin²1°+sin²2°+sin²3°+…+sin²89°成立；
（∵sin²1°+sin²2°+sin²3°+…+sin²89+cos²1°+cos²2°+cos²3°+…+cos²89°=89，∴m=

89

2

）∴②正確；
對于③，對于函數(shù)f（x）=x²+ax+b是凹函數(shù)和g(x)=logax(0＜a＜1)，是凸函數(shù)，有f(

x1+x2

2

)≤f(x1)+f(x2)和g(

x1+x2

2

)≥g(x1)+g(x2)成立，∴③正確；
對于④，集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A為6的“閉集”，則這樣的集合A共有
{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共7個，故④正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查的知識點是三周函數(shù)的周期性，三角函數(shù)值的求法，函數(shù)凹凸性，是邏輯與其它章節(jié)的綜合應用，難度中檔．