Question

如圖是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E、F分別為PA、PD的中點(diǎn)．在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：
①直線BE與直線CF異面；
②直線BE與直線AF異面；
③直線EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD．
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是    個(gè)．

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)三角形的中位線定理可得四邊形EFBC是平面四邊形，直線BE與直線CF共面；
②由異面直線的定義即可得出；
③由線面平行的判定定理即可得出；
④可舉出反例．
解答：解：由展開圖恢復(fù)原幾何體如圖所示：
①在△PAD中，由PE=EA，PF=FD，根據(jù)三角形的中位線定理可得EF∥AD，
又∵AD∥BC，∴EF∥BC，
因此四邊形EFBC是平面四邊形，故直線BE與直線CF不是異面直線，所以①不正確；
②由點(diǎn)A不在平面EFCB內(nèi)，直線BE不經(jīng)過點(diǎn)F，根據(jù)異面直線的定義可知：直線BE與直線AF異面，所以②正確；
③由①可知：EF∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴直線EF∥平面PBC，故③正確；
④如圖：假設(shè)平面BCEF⊥平面PAD．
過點(diǎn)P作PO⊥EF分別交EF、AD于點(diǎn)O、N，在BC上取一點(diǎn)M，連接PM、OM、MN，
∴PO⊥OM，又PO=ON，∴PM=MN．
若PM≠M(fèi)N時(shí)，必然平面BCEF與平面PAD不垂直．
故④不一定成立．
綜上可知：只有②③正確，即正確的命題的個(gè)數(shù)是2．
故答案為2．
點(diǎn)評：正確理解線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理和異面直線的定義是解題的關(guān)鍵．