Question

13．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M、N分別在線(xiàn)段AB₁、BC₁上，且AM=BN．以下結(jié)論：①AA₁⊥MN；②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN與A₁C₁異面，⑤MN與 A₁C₁成30°．其中有可能成立的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 ①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，可得四邊形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA₁⊥面AC，可得結(jié)論成立；
由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A₁B₁C₁D₁，故MN∥平面A₁B₁C₁D₁；
MN∥FE，F(xiàn)E與AC所在直線(xiàn)相交時(shí)，MN與A₁C₁異面，F(xiàn)E與AC平行時(shí)，則平行，故②④可能成立；
⑤EF與AC成30°時(shí)，MN與 A₁C₁成30°．

解答 解：①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，
∵AM=BN，∴NE=MF，∴四邊形MNEF是矩形，
∴MN∥FE，∵AA₁⊥面AC，EF?面AC，∴AA₁⊥EF，∴AA₁⊥MN，故①正確；
由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A₁B₁C₁D₁，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，
故③正確；
MN∥FE，F(xiàn)E與AC所在直線(xiàn)相交時(shí)，MN與A₁C₁異面，F(xiàn)E與AC平行時(shí)，則平行，故②④可能成立；
⑤EF與AC成30°時(shí)，MN與 A₁C₁成30°．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行、垂直，考查線(xiàn)面角的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．