Question

圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底半徑應(yīng)怎樣選取才能使所用材料最�。�

Answer 1

思路分析：解這類有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題時，首先要把各個變量用字母表示出來，然后需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，找出適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；接著運用數(shù)學知識求解，所得結(jié)果要符合問題的實際意義.也就是說最后要進行檢驗.這里要使用料最省，就是使圓柱形的表面積最小，并且體積一定.

解：設(shè)圓柱的高為h,底半徑為R，則表面積S=2πRh+2πR².

∵V=πR²h,∴h=.?

∴S=S（R）=2πR·+2πR²=+2πR².

∵S′=S′（R）=-+4πR,令-+4πR=0,即4πR³-2V=0.

解得R=

∴h=====，

即h=2R.

∵當0＜R＜時，S′＜0.

當R＞時，S′＞0.

∴S（R）在R=處有極小值，?

且S_極小值=6π.

∵S（R）只有一個極值，故是最小值.

答：當罐的高與底的直徑相等時，所用材料最省.

溫馨提示

在實際問題中，有時會遇到在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′（x）=0，如函數(shù)在這點有極值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最值，也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.