Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，下面關(guān)于f（x）的判斷：
①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
③f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
④f（x）在[1，2]上是增函數(shù)；
⑤f（4）=f（0）．
其中判斷正確的命題個(gè)數(shù)是________．

Answer 1

3
分析：由題意y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（x+1）=-f（x），可以知道該函數(shù)的周期為2，再利用f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上為增函數(shù)，可以由題意畫出一個(gè)草圖即可判斷．
解答：因?yàn)閒（x+1）=-f（x） 所以f（x+2）=-f（x+1）=f（x），由函數(shù)的周期定義可知該函數(shù)的周期為2，由于f（x）為定義在R上的偶函數(shù)且在[-1，0]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以由題意可以畫出一下的函數(shù)草圖為：

由圖及題中條件可以得到：
①正確，周期T=2；
②由圖可以知道該函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱，所以②不正確；
③由已知條件 y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)且在[-1，0]上是增函數(shù)，所以y=f（x）在[0，1]上為單調(diào)遞減函數(shù)，故③錯(cuò)；
④f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，故④正確；
⑤f（4）=f（0），正確．
故答案為：3
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的周期性，對(duì)稱性及有抽象函數(shù)式子賦值的方法，還考查了學(xué)生對(duì)于抽象問題的具體化及數(shù)形結(jié)合的思想．