Question

已知集合M是滿足下列性質的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，使得對任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．
（1）函數(shù)f（x）=x是否屬于M？說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點，求證：f（x）=a^x∈M；
（3）設f（x）∈M，且T=2，已知當1＜x＜2時，f（x）=x+lnx，求當-3＜x＜-2時，f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）將f（x）=x代入定義（x+T）=T f（x）驗證，即可知函數(shù)f（x）=x不屬于集合M；
（2）由題意存在x∈R使得a^x=x，由新定義知存在非零常數(shù)T使得a^T=T，將函數(shù)關系式代入f（x+T）=T f（x）驗證，即可證得f（x）=a^x∈M；
（3）將-3＜x＜-2轉化為1＜x+4＜2，利用當1＜x＜2時，f（x）=x+lnx，即可求得f（x+4）的解析式，再利用f（x+T）=Tf（x），即可求得f（x）的解析式．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x，
∴對于非零常數(shù)T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，
∵集合M是滿足下列性質的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，使得對任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
而對任意x∈R，x+T=Tx，不能恒成立，
∴不滿足上述性質，
∴f（x）=x∉M；
（2）∵函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點，
∴方程組

y=ax y=x

有解，消去y，可得a^x=x，
∵x=0不是方程a^x=x的解，
∴存在非零常數(shù)T，使a^T=T，
∴對于f（x）=a^x，有f（x+T）=a^x+T=a^T•a^x=T•a^x=Tf（x），
∴f（x）=a^x滿足集合M中的性質，
∴f（x）=a^x∈M；
（3）∵-3＜x＜-2，
∴1＜x+4＜2，
∴f（x+4）=x+4+ln（x+4），
∵存在非零常數(shù)T，使得對任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
∴令T=2，
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=2f（x+2）=4f（x），
∴f(x)=

1

4

[x+4+ln(x+4)]，
∴當-3＜x＜-2時，f（x）的解析式是f(x)=

1

4

[x+4+ln(x+4)]．

點評：本題考查了抽象函數(shù)及其應用，函數(shù)解析式的求解及常用方法，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質．求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．對于指數(shù)函數(shù)，如果底數(shù)a的值不確定范圍，則需要對底數(shù)a進行分類討論，便于研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質．屬于中檔題．