Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率,右焦點(diǎn)為.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為,在橢圓上是否存在點(diǎn),使得向量與共線?若存在,求直線的方程;若不存在,簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ; (Ⅱ) 直線的方程為或

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 由離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)兩個(gè)條件求出橢圓的C的方程.

(Ⅱ)首先假設(shè)存在點(diǎn)P，再通過(guò)向量與共線.得到關(guān)于一個(gè)關(guān)于點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的的一個(gè)等式.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以又得到一個(gè)關(guān)于的一個(gè)方程.由此可解出的值.從而寫(xiě)出直線AP的方程.本小題是橢圓中的一個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，通過(guò)兩個(gè)已知條件求出橢圓的方程.接著利用橢圓方程以及向量的共線知識(shí)，求出共線問(wèn)題.

試題解析：(1)設(shè)橢圓的方程為, 

離心率,右焦點(diǎn)為,,, 

故橢圓的方程為                   6分

(2)假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)(),使得向量與共線, 

,,             7分

 (1)                    8分

又點(diǎn)()在橢圓上,   (2)       9分

由(1)、(2)組成方程組解得:,或,          10分

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),直線的方程為,       11分

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),直線的方程為,    12分

故直線的方程為或              13分

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.向量的共線.3.直線方程的表示.