Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+2，a∈R是常數(shù)．
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（a，f（a））（a＞0）與直線y=b相切，求a和b的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系即可求a和b的值；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和極值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論求解即可．

解答： 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

x

-a，
∵y=f（x）的圖象在點(diǎn)（a，f（a））（a＞0）與直線y=b相切，
∴f′（a）=

1

a

-a=0，
解得a=1或a=-1（舍去），
則f（1）=1=b，即b=1．

（2）由f（x）=lnx-ax+2=0，得a=

lnx+2

x

，
令g（x）=

lnx+2

x

，
則g′（x）=-

lnx+1

x2

，
令g′（x）＞0得0＜x＜

1

e

，此時(shí)函數(shù)遞增，
令g′（x）＜0，得x＞

1

e

，此時(shí)函數(shù)遞減，
故當(dāng)x=

1

e

時(shí)函數(shù)取得最大值g（

1

e

）=e，
若a＞e，則y=f（x）沒有零點(diǎn)，
若a=e，則y=f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a≤0，f′（x）=

1

x

-a＞0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．，
當(dāng)0＜a＜e時(shí)，g（

1

e3

）=-e³，g（

1

e

）=e，
即g（

1

e3

）＜a＜g（

1

e

），
∵g（x）在（0，

1

e

）上遞增，
∴當(dāng)x∈（0，

1

e

）時(shí)，y=a與g（x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f（x）在（0，

1

e

）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)x→+∞時(shí)，由冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，g（x）→0，
而0＜a＜e，
∴當(dāng)x∈（

1

e

，+∞）時(shí)，y=a與g（x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在（

1

e

，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
∴當(dāng)0＜a＜e時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)兩點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．