Question

9．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AD=2，M、N分別是A B．PC的中點．
（1）求證：平面MND⊥平面PCD； 
（2）求點P到平面MND的距離．

Answer 1

分析 （1）作出如圖所示空間直角坐標系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得 $\overrightarrow{MN}$、$\overrightarrow{ND}$、$\overrightarrow{PD}$的坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法算出平面MND、平面PCD的法向量分別為 $\overrightarrow{m}$=（-2，-1，1）和 $\overrightarrow{n}$=（0，1，1），算出 $\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0可得$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，從而得出平面MND⊥平面PCD；
（2）由（1）中求出的平面MND法向量 $\overrightarrow{m}$=（-2，-1，1）與向量 $\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），利用點到平面的距離公式加以計算即可得到點P到平面MND的距離．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP兩兩互相垂直，
如圖所示，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
M（1，0，0），N（1，1，1），
∴$\overrightarrow{MN}$=（0，1，1），$\overrightarrow{ND}$=（-1，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2）
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面MND的一個法向量，
可得$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=y+z=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{ND}=-x+y-z=0\end{array}\right.$，取y=-1，得x=-2，z=1，
∴$\overrightarrow{m}$=（-2，-1，1）是平面MND的一個法向量，同理可得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）是平面PCD的一個法向量，
∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-2×0+（-1）×1+1×1=0，∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，
即平面MND的法向量與平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND⊥平面PCD；
（2）由（1）得$\overrightarrow{m}$=（-2，-1，1）是平面MND的一個法向量，
∵$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），得$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{m}$=0×（-2）+2×（-1）+（-2）×1=-4，
∴點P到平面MND的距離d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}|}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{PD}\right|}$=$\frac{4}{\sqrt{4+1+1}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題在特殊的四棱錐中證明面面垂直，著重考查了利用空間向量研究平面與平面所成角、二面角的定義及求法和點到平面的距離等知識，屬于中檔題．