Question

已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)P（2，2）的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)．當(dāng)△AOB的面積為時（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知：點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l′為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)直線m的方程為y=kx+（2-2k），代入x²=4y，得x²-4kx+8（k-1）=0，由△=16（k²-2k+2）＞0對k∈R恒成立，知直線m與曲線C恒有兩個不同的交點(diǎn)，再由韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式，利用、△AOB的面積為，能求出λ的值．
解答：解：（1）∵點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到直線l：y=-2的距離小于1，
∴點(diǎn)M在直線l的上方，點(diǎn)M到F（1，0）的距離與它到直線l′：y=-1的距離相等，
∴點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l′為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線C的方程為x²=4y．
（2）當(dāng)直線m的斜率不存在時，它與曲線C只有一個交點(diǎn)，不合題意，
設(shè)直線m的方程為y-2=k（x-2），即y=kx+（2-2k），
代入x²=4y，得x²-4kx+8（k-1）=0，（*）
△=16（k²-2k+2）＞0對k∈R恒成立，
所以，直線m與曲線C恒有兩個不同的交點(diǎn)，
設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=8（k-1），
∵|AB|=
=
=4，
點(diǎn)O到直線m的距離，
∴
=4|k-1|•
=4，
∵，∴4=4，
∴（k-1）⁴+（k-1）²-2=0，
∴（k-1）²=1，或（k-1）²=-2（舍去），∴k=0，或k=2．
當(dāng)k=0時，方程（*）的解為，
若，，則，
若，則，
當(dāng)k=2時，方程（*）的解為4，
若，，則，
若，，則=3-2，
所以，，或．
點(diǎn)評：本題考查曲線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認(rèn)真審題，注意拋物線的簡單性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式等知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用．