Question

如圖，三棱柱中，平面，，, 點(diǎn)在線段上，且，．

（Ⅰ）求證：直線與平面不平行；

（Ⅱ）設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，若，求的長(zhǎng)；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)平面平面，求直線與所成的角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析   （Ⅱ）　．（Ⅲ）直線與所成的角的余弦值為．

【解析】(I)本小題易用空間向量法解決，易求出平面ABC的法向量，然后證明向量DE與平面ABC的法向量的數(shù)量積不等于零即可.

（2）先求出平面的一個(gè)法向量，然后，可以求出此直棱柱的高.

(3)先找出平面平面與平面的交線．在平面內(nèi)，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則直線為平面與平面的交線.

然后求出的坐標(biāo)，再根據(jù),求出直線與所成的角的余弦值.

依題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

．2分

（Ⅰ）證明：由平面可知為平面的一個(gè)法向量．

∴　．∴　直線與平面不平行．   4分

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，則，

取，則，故．6分

∴，7分解得．∴　．

（Ⅲ）在平面內(nèi)，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則直線為平面與平面的交線．∵　，，∴　．∴　，

∴　．········ 11分

由（Ⅱ）知，，故，

∴　．∴　直線與所成的角的余弦值為