Question

若一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線C上，且其一邊經(jīng)過C的焦點(diǎn)，則雙曲線C的離心率是

5 +1

2

．

Answer 1

分析：設(shè)出雙曲線C的方程

x2

a2

-

y2

b2

=1，依題意，a²+b²=c²，且（c，c）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上的點(diǎn)，從而可得到關(guān)于a，c的關(guān)系式，解之即可．

解答：解：∵正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上，其一邊經(jīng)過C的焦點(diǎn)，則有
a²+b²=c²，且（c，c）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上的點(diǎn)，
所以

c2

a2

-

c2

b2

=1
消去b²得c⁴-3a²•c²+a⁴=0，
∴

c2

a2

=

3± 5

2

，由于c²＞a²，
∴

c2

a2

=

3+ 5

2

=

6+2 5

4

=(

5 +1

2

)2，
∴離心率e=

c

a

=

5 +1

2

．
故答案為：

5 +1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，利用（c，c）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上的點(diǎn)，求得

c2

a2

=(

5 +1

2

)2是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．