Question

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：

①對任意x，y∈R，都有f(x)＋f(y)=f(x＋y)；

②當(dāng)x＜0時，有f(x)＜0．

(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷f(x)的奇偶性；

(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷f(x)的單調(diào)性；

(Ⅲ)若f(k·)＋f()＜0對任意x∈R恒成立；求實數(shù)k的取值范圍．

（Ⅳ）求證：

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因為對任意x，y∈R都有f(x)＋f(y)=f(x＋y) 　　∴f(0)＋f(0)=f(0) ∴f(0)=0． 　　又對任意x∈R，f(x)＋f(－x)=f(0)=0 　　∴f(－x)=－f(x) 　　所以f(x)是奇函數(shù) 　　(Ⅱ)設(shè)，則 　　 　　∵ ∴ 　　所以f(x)是增函數(shù)． 　　(Ⅲ)方法一： 　　由得 　　 　　由(Ⅱ)知f(x)是增函數(shù)，所以問題等價于 　　 　　即 對任意x∈R恒成立． 　　設(shè) 　　即u的最小值為，要使 　　對x∈R恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)k＜－1． 　　所以實數(shù)k的取值范圍是(－∞，－1)． 　　方法二： 　　由得 　　 　　由(Ⅱ)知f(x)是增函數(shù)，所以問題等價于 　　 　　即 對任意x∈R恒成立． 　　令t=＞0，就是－(1＋k)t＋2＞0 對任意t＞0恒成立． 　　令g(t)= 　　其圖象的對稱軸為． 　　當(dāng)，即k＜－1時，g(0)=2＞0，符合題意； 　　當(dāng)時，由 　　解得－1≤k＜－1 　　綜上所述，k的取值范圍是(－∞，－1)．    （Ⅳ）因為對任意x，y∈R都有f(x)＋f(y)=f(x＋y)     ∴     ∵f(x)是增函數(shù)．所以只需證明        下略。