Question

15．已知數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，且a₁+a₄=9，a₂•a₃=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{4{a}_{n}}{n•{2}^{n}}$，求數(shù)列{b_n•b_n+1}的前2019項(xiàng)和T₂₀₁₉．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a₁a₄=a₂•a₃，解得a₁=1，a₄=8，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解方程可得公比q，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）求出b_n=$\frac{2}{n}$，b_n•b_n+1=$\frac{2}{n}$•$\frac{2}{n+1}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，
且a₁+a₄=9，a₁a₄=a₂•a₃=8，
解得a₁=1，a₄=8或a₁=8，a₄=1（舍去），
可得公比q滿足q³=8，解得q=2，
則a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）b_n=$\frac{4{a}_{n}}{n•{2}^{n}}$=$\frac{4•{2}^{n-1}}{n•{2}^{n}}$=$\frac{2}{n}$，
b_n•b_n+1=$\frac{2}{n}$•$\frac{2}{n+1}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
即有前2019項(xiàng)和T₂₀₁₉=4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2019}$-$\frac{1}{2010}$）
=4×（1-$\frac{1}{2010}$）=$\frac{4018}{1005}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．