Question

已知函數(shù)（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）當(dāng)x∈（n，a-2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實(shí)數(shù)a與n的值．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)．
∴f（-x）+f（x）=0解得m=-1．
（2）由（1）及題設(shè)知：，
設(shè)，
∴當(dāng)x₁＞x₂＞1時(shí)，
∴t₁＜t₂．
當(dāng)a＞1時(shí)，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
同理當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

（3）由題設(shè)知：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）∪（-∞，-1），
∴①當(dāng)n＜a-2≤-1時(shí)，有0＜a＜1．由（1）及（2）題設(shè)知：f（x）在為增函數(shù)，由其值域?yàn)椋?，+∞）知（無(wú)解）；
②當(dāng)1≤n＜a-2時(shí)，有a＞3．由（1）及（2）題設(shè)知：f（x）在（n，a-2）為減函數(shù)，由其值域?yàn)椋?，+∞）知
得，n=1．
分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可知f（-x）+f（x）=0，建立關(guān)于m的等式關(guān)系，解之即可；
（2）先利用函數(shù)單調(diào)性的定義研究真數(shù)的單調(diào)性，討論a的取值，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定；
（3）先求函數(shù)的定義域，討論（n，a-2）與定義域的關(guān)系，然后根據(jù)單調(diào)性建立等量關(guān)系，求出n和a的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的單調(diào)性和值域問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．