Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，=（0，a），，記、、中的最大值為M，當(dāng)a取遍一切實(shí)數(shù)時(shí)，M的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知中，，=（0，a），，我們記、、中的最大值為M，若a=0（A，B，O三點(diǎn)重合）時(shí)，則當(dāng)P落在OC的中點(diǎn)上時(shí)，M取最小值；若a=7（A，B，C三點(diǎn)共線）時(shí)，則當(dāng)P落在AB的中點(diǎn)上時(shí)，M取最小值；其它情況下，M落在△ABC的外心上時(shí)，M取最小值．三種情況下M均無最大值，故分類討論出M的最小值，即可得到答案．
解答：解：∵，，=（0，a），
當(dāng)a=0時(shí)，M≥
當(dāng)a=7時(shí)，（A，B，C三點(diǎn)共線）時(shí)，則當(dāng)P落在AB的中點(diǎn)上時(shí)，M取最小值，M
當(dāng)a≠0，且a≠7時(shí)，當(dāng)P落在△ABC的外心Q上時(shí)，且Q最小時(shí)，M有最小值
∵Q所在的直線與AB垂直，故Q落在直線y=x上
若PA²≥PB²，則y≥x；
當(dāng)y≥x時(shí)M²=max{PA²，PC²}
∵到點(diǎn)C的距離等于到x軸的距離的點(diǎn)的軌跡是拋物線：（x-3）²=8（y-2），
交直線y=x于P（7-2，7-2），
∴M_min=7-2，∴當(dāng)a=2時(shí)，M取最小值7-2，
故M的取值范圍是
故答案為：
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是兩向量的和或差的模的最值，其中分類討論出M的最小值，是解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)．