Question

設x∈R，f（x）=(

1

2

)|x|，若不等式f（x）+f（2x）≤k對于任意的x∈R恒成立，則實數k的取值范圍是

k≥2

．

Answer 1

分析：根據指數函數的單調性及復合函數的單調性確定原則，我們可以分析出函數f（x）和函數f（2x）的單調性，進而分析出函數F（x）=f（x）+f（2x）的單調性，進而求出F（x）=f（x）+f（2x）的最大值后，即可得到實數k的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=(

1

2

)|x|，
∴函數f（x）在區(qū)間（-∞，0]上為增函數，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數，
且函數f（2x）在區(qū)間（-∞，0]上為增函數，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數，
令F（x）=f（x）+f（2x），
根據函數單調性的性質可得F（x）=f（x）+f（2x）在區(qū)間（-∞，0]上為增函數，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數，
故當x=0時，函數F（x）取最大值2，
若不等式f（x）+f（2x）≤k對于任意的x∈R恒成立，
則實數k的取值范圍是k≥2
故答案為：k≥2

點評：本題以不等式恒成立問題為載體考查了函數的單調性及函數的最值，其中構造函數F（x）=f（x）+f（2x），并根據函數的單調性及復合函數的單調性確定原則，確定函數F（x）=f（x）+f（2x）的單調性及最值是解答的關鍵．