已知函數(shù)f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函數(shù),且其定義域為[m-1,2m].
(1)求m,n的值;
(2)求函數(shù)f(x)在其定義域上的最大值.
分析:(1)由已知函數(shù)f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函數(shù),且其定義域為[m-1,2m].根據(jù)偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱,且偶函數(shù)的定義中f(-x)=f(x)恒成立,我們可以構(gòu)造一個關(guān)于m,n的方程組,解方程組即可得到m,n的值.
(2)由(1)中m,n的值,我們易得到函數(shù)的解析式,分析函數(shù)的圖象及性質(zhì),結(jié)合函數(shù)的定義域,易求出函數(shù)f(x)在其定義域上的最大值.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函數(shù),
∴函數(shù)的定義值關(guān)于原點對稱,
又∵函數(shù)f(x)的定義域為[m-1,2m].
∴m-1+2m=0,解得m=
1
3

又由f(-x)=mx2-nx+3m+n=f(x)=mx2+nx+3m+n
可得n=0
(2)由(1)得函數(shù)的解析式為:f(x)=
1
3
x2+1,定義域為[-
2
3
,
2
3
].
其圖象是開口方向朝上,且以Y軸為對稱軸的拋物線
當(dāng)x=±
2
3
時,f(x)取最大值
31
27
點評:本題考查的知識點是偶函數(shù),函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的最在大值,其中根據(jù)偶函數(shù)的定義和性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于m,n的方程組,求出m,n的值,進而得到函數(shù)的解析式,是解答本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m•2x+t的圖象經(jīng)過點A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn為數(shù)列{an}的前n項和,n∈N*
(1)求Sn及an;
(2)若數(shù)列{cn}滿足cn=6nan-n,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m(x+
1
x
)的圖象與h(x)=(x+
1
x
)+2的圖象關(guān)于點A(0,1)對稱.
(1)求m的值;
(2)若g(x)=f(x)+
a
4x
在(0,2]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相鄰兩對稱軸間的距離不小于
π
2

(Ⅰ)求ω的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,a=
3
,b+c=3,當(dāng)ω最大時,f(A)=1,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下兩題任選一題:(若兩題都作,按第一題評分)
(一):在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cosθ的圓心到直線θ=
π
3
(ρ∈R)的距離
3
2
3
2
;
(二):已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,當(dāng)不等式f(x+2)≥0的解集為[-2,2]時,實數(shù)m的值為
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R+,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m,求Z=a+2b+3c的最小值.

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