已知函數(shù)f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函數(shù),且其定義域為[m-1,2m].
(1)求m,n的值;
(2)求函數(shù)f(x)在其定義域上的最大值.
分析:(1)由已知函數(shù)f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函數(shù),且其定義域為[m-1,2m].根據(jù)偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱,且偶函數(shù)的定義中f(-x)=f(x)恒成立,我們可以構(gòu)造一個關(guān)于m,n的方程組,解方程組即可得到m,n的值.
(2)由(1)中m,n的值,我們易得到函數(shù)的解析式,分析函數(shù)的圖象及性質(zhì),結(jié)合函數(shù)的定義域,易求出函數(shù)f(x)在其定義域上的最大值.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=mx
2+nx+3m+n是偶函數(shù),
∴函數(shù)的定義值關(guān)于原點對稱,
又∵函數(shù)f(x)的定義域為[m-1,2m].
∴m-1+2m=0,解得m=
又由f(-x)=mx
2-nx+3m+n=f(x)=mx
2+nx+3m+n
可得n=0
(2)由(1)得函數(shù)的解析式為:f(x)=
x
2+1,定義域為[-
,
].
其圖象是開口方向朝上,且以Y軸為對稱軸的拋物線
當(dāng)x=±
時,f(x)取最大值
點評:本題考查的知識點是偶函數(shù),函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的最在大值,其中根據(jù)偶函數(shù)的定義和性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于m,n的方程組,求出m,n的值,進而得到函數(shù)的解析式,是解答本題的關(guān)鍵.