Question

已知雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，離心率為2，F(xiàn)₁、F₂分別是它的左、右焦點，A是它的右頂點，過F₁作一條斜率為k（k≠0）的直線與雙曲線交于兩個點M、N，則∠MAN為（　　）

A．銳角

B．直角

C．鈍角

D．銳角、直角、鈍角都有可能

Answer 1

分析：由于e=

c

a

=2，可得c²=4a²=a²+b²，得到b²=3a²．雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，可表示為3x²-y²=3a²．設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線MN的方程為y=k（x+c），與雙曲線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用數(shù)量積

AM

•

AN

即可得出．

解答：解：∵e=

c

a

=2，∴c²=4a²=a²+b²，得到b²=3a²．雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，可表示為3x²-y²=3a²．
設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線MN的方程為y=k（x+c），聯(lián)立

y=k(x+c) 3x2-y2=3a2

，化為（3-k²）x²-2k²cx-k²c²-3a²=0．
∵3-k²≠0，△＞0，∴x1+x2=

2k2c

3-k2

，x1x2=

-k2c2-3a2

3-k2

．
∴

AM

•

AN

=（x₁-a，y₁）•（x₂-a，y₂）=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=x1x2-a(x1+x2)+a2+k²（x₁+c）（x₂+c）
=（1+k²）x₁x₂+（k²c-a）（x₁+x₂）+c²k²+a²
=

(1+k2)(-k2c2-3a2)

3-k2

+

2k2c(k2c-a)

3-k2

+c²k²+a²
=

-k2c2-3a2-k4c2-3a2k2+2k4c2-2k2ac+3c2k2-c2k4

3-k2

+

3a2-a2k2

3-k2

=0．
∴

AM

⊥

AN

．
∴∠MAN=90°．
故選B．

點評：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積運算的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能，屬于難題．