Question

16．已知${2^{\frac{1}{x}}}≥{x^a}$對任意的x∈（0，1）都成立，則實數a的最小值為（　　）

• A． -e
• B． -eln2
• C． $-\frac{1}{e}$
• D． $-\frac{1}{eln2}$

Answer 1

分析 先根據對數的定義，得到$\frac{ln2}{xlnx}≤a$，構造函數設$f（x）=\frac{ln2}{xlnx}$，根據導數和函數的最小值的關系求出最大值，即可得到a的最小值．

解答 解：對${2^{\frac{1}{x}}}≥{x^a}$兩邊同時取以e為底的對數得$\frac{1}{x}ln2≥alnx$，由于x∈（0，1），則lnx＜0，
所以$\frac{ln2}{xlnx}≤a$，
設$f（x）=\frac{ln2}{xlnx}$，
則$f'（x）=-\frac{（1+lnx）×ln2}{{{{（xlnx）}^2}}}$，
則有

x	$（{0，\;\;\frac{1}{e}}）$	$\frac{1}{e}$	$（{\frac{1}{e}，\;\;1}）$
f'（x）	+	0	-
f（x）	單調遞增	極大值$f（{\frac{1}{e}}）$	單調遞減

所以當x∈（0，1）時，$f（x）≤f（{\frac{1}{e}}）=-eln2$，
故a≥-eln2，
所以a的最小值為-eln2，
故選：B．

點評 本題考查了導數和函數的最值的關系以及參數的取值范圍，構造函數是關鍵，屬于中檔題．