Question

空間作用在同一點(diǎn)的三個(gè)力

F1

，

F2

，

F3

兩兩夾角為60°，大小分別為 |

F1

|=1，|

F2

|=2，|

F3

|=3，設(shè)它們的合力為

F

=

F1

+

F2

+

F3

，則（　　）

Answer 1

分析：設(shè)三個(gè)力對(duì)應(yīng)的向量分別為

OA

、

OB

、

OC

，以O(shè)A、OB、OC為過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱，作平行六面體如圖，再以平面OBGC為xoy平面，O為原點(diǎn)、OC為y軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系．分別算出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的加法法則，可得

F

=（-

7 3

6

，

9

2

，

6

3

）．最后利用向量模的公式算出|

F

|，并且利用向量夾角公式算出

F

與

F1

夾角余弦，即得本題答案．

解答：解：設(shè)向量

OA

=

F1

，

OB

=

F2

，

OC

=

F3

以O(shè)A、OB、OC為過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱，
作平行六面體OBGC-ADEF，如圖所示
則可得向量

OE

=

F

=

F1

+

F2

+

F3

以平面OBGC為xoy平面，O為原點(diǎn)，
OC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
可得O（0，0，0），B（-

3

，1，0），C（0，3，0）
設(shè)A（x，y，z），可得

OA • OB =- 3 x+y=1 OA • OC =3y= 3 2 | OA |= x2+y2+z2 =1

，解之得x=-

3

6

，y=

1

2

，z=

6

3

．
∴

OA

=

F1

=（-

3

6

，

1

2

，

6

3

），
結(jié)合

OB

=

F2

=（-

3

，1，0），

OC

=

F3

=C（0，3，0），可得

F

=

F1

+

F2

+

F3

=（-

7 3

6

，

9

2

，

6

3

）
∴|

F

|=

(- 7 3 6 )2+( 9 2 )2+( 6 3 )2

=5
設(shè)

F

與

F

₁所成的角為θ，可得cosθ=

F • F1

| F |•| F1 |

=

- 7 3 6 ×(- 3 6 )+ 1 2 × 9 2 + 6 3 × 6 3

5×1

=

7

10

即

F

與

F

₁所成角的余弦之值為

7

10

故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出空間兩兩夾角為60°的三個(gè)向量，在已知它們的長(zhǎng)度情況下求它們的和向量的大小與方向，著重考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模與夾角公式等知識(shí)，屬于中檔題．